В работе определяется класс динамических матричных игр, описываемых разностными уравнениями, вдоль траектории которых задана матрица выигрышей игроков. Вводятся новые понятия стратегии, седловой точки и цена игры. Найдено необходимое и достаточное условие оптимальности стратегий. In the work the class of dynamic matrix games described by the difference equations, along trajectory of whichthe payoff matrix of players is set, is defined. New concepts of strategy, saddle point and game price are introduced.The necessary and sufficient condition of optimality of strategy is found.

Построена математическая модель менеджмента как управления предприятием в рыночных условиях с целью получения прибыли. С учетом агрессивности среды модель принятия управленческих решений (существование конкурентов, неполнота или отсутствие необходимой информации и др.) построена в форме динамической игры с природой. Определены и анализированы принципы оптимального поведения менеджера Mathematical model of management as operation of business in the market with the purpose of profit earning isbuilt. Taking into consideration hostile environment of managerial decision-making (competitors existence, incompleteor null information etc.) the model is built in the form of dynamical game with nature. Principles of optimal behaviourmanager’s are defined and analysed.

Матричные игры имеют достаточно обширное практическое применение. Поскольку процессы принятия решений в социально-экономических и других системах имеют динамический характер, возникает необходимость обобщения класса матричных игр так, чтобы учитывались временные факторы. Динамические матричные игры построены в форме многошаговой задачи конфликтного управления. Введен новый класс стратегий (к-стратегий). Определены понятия допустимых, оптимальных и чистых к-стратегий, понятие оптимальной траектории и цены игры. Обосновано применение принципа минимакса. Найдено достаточное условие существования единственной оптимальной стратегии. Установлена динамическая устойчивость оптимальной траектории Matrix games have rather extensive practical application. As decision-making processes in social and economic and other systems have dynamic nature, there is a necessity of generalization of matrix games class so that timefactors were considered. Dynamic matrix games are built in the form of a multistage problem of conflict control.New class of strategies (k-strategies) are introduced. Concepts of optimal pure k-strategies, optimal trajectory andvalue of game are defined. The use of minimax principle in dynamical matrix games are substantiated. Sufficientcondition of existence of unique optimal trajectory is found. Dynamical stability of optimal trajectory is ascertained

В работе был введен новый класс игровых моделей, названный динамическими матричными играми(ДМИ), как обобщение классических матричных игр с учетом фактора времени. Такое обобщение представляется естественным как с теоретической точки зрения – динамические антагонистические игры, в свое время, были построены путем введения динамики в бесконечные антагонистические игры, так и с практической точки зрения – расширение области приложения теории матричных игр. В [2] была построена модель ДМИ, определены основные понятия, введен класс допустимых чистых стратегий и обосновано применение принципа минимакса. В настоящей статье вводится понятие смешанных комбинированных стратегий и в этом классе стратегий исследуются вопросы о необходимых и достаточных признаках оптимальности, существования оптимальных стратегий и их динамическая устойчивость A new class of game models, called dynamic matrix games (DMG) was introduced in [2] as a generalization of theclassical matrix games considering the time factor. Such a generalization seems natural both from the theoretical pointof view, the dynamic zero-sum games once being constructed by adding dynamics in the infinite zero-sum games, andfrom the practical point of view – as the expansion of application field of the matrix games theory. The model of theDMG was constructed in [2], the basic concepts were defined, the class of admissible pure strategies was introducedand the using of minimax principle was substantiated.The concept of mixed combinated strategies is introduced in this paper; the questions of the necessary and sufficient optimality signs, the existence of optimal strategies and their dynamic stability are investigated in this class ofstrategies

Объектом исследования данной работы является экономический регион как единица административно-территориального деления первого уровня классификации (республика, край, область, округ). Предмет исследования — устойчивое развитие экономического региона как триады "население — хозяйство — природа". Цель статьи — разработка методики применения математических моделей оптимального управления в исследовании различных вопросов устойчивого развития экономического региона как одного из способов научного познания, который позволяет использовать уникальный математический аппарат для проведения предварительных количественных и качественных экспериментов и получения обоснованных рекомендаций по реализации стратегии и сценария устойчивого развития региона The article studies an economic regionas a unit of administrative and territorial division ofthe first-level classification (Republic, Krai, Regionand District). The research considers the sustainabledevelopment of an economic region as the “population — economy — nature” triad.Objectives The article aims to develop the method ofmathematical models application of optimal management while researching the issues of the sustainabledevelopment of economic region as one of the methodsof scientific cognition, which enables to use the uniquemathematical apparatus to conduct the preliminaryquantitative and qualitative experiments and obtainingof substantiated recommendations on the selection ofoptimal priorities and corresponding strategy

Посвящена разработке математической модели нового класса динамических биматричных игр как обобщения статических биматричных игр с учетом влияния фактора времени. Предназначение биматричных игр как моделей принятия оптимального решения заключается в исследовании проблем в социально-экономических, политических и других сферах, характеризуемых как активные системы, с целью выработки оптимального поведения двух сторон с пересекающимися (но не антагонистическими) интересами. Благодаря построенной обобщенной модели существенно расширяется область практического применения биматричных игр, повышаются адекватность модели к исследуемому объекту и качество получаемых результатов. Этим объясняется актуальность данной работы. Основными результатами исследования являются построенная в форме модели многошаговой задачи оптимального управления динамическая биматричная игра; разработка нового класса комбинированных смешанных стратегий и определение в нем принципа оптимальности (обобщение принципа равновесия по Нэшу); установление факта существования равновесной траектории в динамических матричных играх в классе комбинированных стратегий; разработка вычислительной схемы для равновесной траектории; моделирование процесса производственного инвестирования предприятий-дуополистов в форме динамической биматричной игры в качестве апробации общей модели. Полученные в данной работе результаты могут быть полезными в дальнейшем применении модели динамических биматричных игр в таких сложных средах принятия управленческих решений, как стохастическая и неопределенность The article is dedicated to development of a new mathematical model of dynamic bimatrix games as a generalization of static bimatrix games, providing for the time factor. The purpose of bimatrix games, as modelsof optimal decision-making, is to study problems in socio-economic, political and other fields, characterizedas active systems, in order to develop optimal behavior on both sides with overlapping (but not antagonistic)interests. Thanks to the generalized model described in the article, practical application of bimatrix games is significantly expanded, adequacy of the model to a subject under study and quality of results are improved.This explains the relevance of this work. The main results of the study are: bimatrix game built in the formof the model of a multi-step problem of optimal management; development of a new class of strategies (combined pure and mixed strategies) and definition therein of the optimality principle (generalization of the Nashequilibrium); establishing the existence of equilibrium path in dynamic matrix games in the class of combinedstrategies; development of calculational scheme of equilibrium trajectory; modeling of a process of investmentin companies-duopolists in the form of dynamic bimatrix game (as a way of testing of the generalized model).The results of this work may be useful in the future studies of dynamic models of bimatrix games in suchdifficult fields of business management decision-making as stochastic and uncertainty